Question

（2001•哈尔滨）已知：如图，CD是△ABC外角∠MCA的平分线，CD与三角形的外接圆交于点D．
（1）若∠BCA=60°，求证：△ABD为等边三角形；
（2）设点F为弧AD上一点，且弧AF=弧BC，DF的延长线交BA的延长线于点E．求证：AC•AF=DF•FE．

Answer

（1）可通过证三个内角都是60°来得出三角形ABD是等边三角形的结论．已知∠BCA=60°，根据圆周角定理我们可得出∠BDA=60°，那么我们只需证明∠DBA=∠DAB即可得出三角形是等边三角形的结论．可通过寻找相等的中间值来求解，∠MCD是圆内角四边形ABCD的外角，那么∠MCD=∠DAB，而根据圆周角定理，我们知道∠DBA=∠DCA，已知了DC平分∠MCA，那么我们就可以得出∠DBA=∠DAB的结论，也就能得出本题要求的结论．
（2）可通过相似三角形来求解，可通过证三角形ACD和AFE相似，得出关于AC，CD，AF，FE然后通过证明三角形BCD和三角形AFD全等，得出DF=DC，然后将比例关系式总的等量线段置换，即可得出本题的结果．
证明：（1）∵CD平分∠MCA，
∴∠MCD=∠DCA．
∵∠MCD是圆内接四边形ABCD的外角，
∴∠MCD=∠DAB．
根据圆周角定理可知
∠BDA=∠BCA=60°，∠DCA=∠DBA，
∴∠MCD=∠DCA=∠BDA=∠DBA=∠DAB=60°．
∴△ABD是等边三角形．

（2）由（1）可知∠MCD=∠DCA=60°，
同理可得出∠EFA=∠DBA=60°，
∴∠DCB=∠DFA=180-60=120°．
∵弧BC=弧AF，
∴AF=BC，∠BDC=∠ADF．
∴△BDC≌△ADF．
∴∠EFA=∠DBA=60°，∠DCA=∠DBA=60°，
∵∠BDC=∠ADF，
∴∠BDC+∠ADB=∠ADF+∠ADB，即∠CDA=∠BDF．
∵∠EAF是圆内接三边形ABDF的外角，
∴∠EAF=∠ADF=∠CDA．
∴△ADC∽△EFA．
∴AC•AF=CD•FE．
∵CD=DF，
∴AC•AF=DF•FE．