Question

（2001•黑龙江）用两种方法证明等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（要求：画出图形，写出已知、求证、证明）．

Answer

第一种方法：分别过点A、B作AE⊥DC于点E，BF⊥DC于点F，由已知可得四边形ABFE是矩形，从而得到AE=BF，已知有两组角相等，则利用AAS判定△ADE≌△BCF，从而得到AD=BC，即推出了梯形ABCD是等腰梯形；
第二种方法：过点B作BE∥AD，根据已知可得到四边形ABED是平行四边形，从而得到AD=BE，又因为BE∥AD，∠D=∠C，从而可得到BE=BC=AD，从而推出了梯形ABCD是等腰梯形．
已知：梯形ABCD中，∠D=∠C，AB∥DC，
求证：梯形ABCD是等腰梯形．
证明：
证法一：如图，分别过点A、B作AE⊥DC于点E，BF⊥DC于点F，
∵AE⊥DC，BF⊥DC，
∴∠AED=∠BFC=90°，AE∥BF，
∵AB∥DC，
∴四边形ABFE是矩形，
∴AE=BF．
∵∠D=∠C，
∴△ADE≌△BCF．
∴AD=BC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．

证法二：过点B作BE∥AD，
∵AB∥DC，BE∥AD，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD=BE．
∵BE∥AD，
∴∠D=∠BEC．
∵∠D=∠C，
∴∠BEC=∠C．
∴BE=BC．
∴BC=AD．
∴梯形ABCD是等腰梯形．