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(2001•荆州)设二次函数y=ax2+bx+c(a>0,b>0)的图象经过(0...

(2001•荆州)设二次函数y=ax2+bx+c(a>0,b>0)的图象经过(0,y1)、(1,y2)和(-1,y3)三点,且满足y12=y22=y32=1.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设这个二次函数的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0),x1<x2,C为顶点,连接AC、BC,动点P从A点出发沿折线ACB运动,求△ABP的面积的最大值;
(3)当点P在折线ACB上运动时,是否存在点P使△APB的外接圆的圆心在x轴上?请说明理由.

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(1)将三点坐标代入抛物线的解析式中,根据y12=y22=y32=1.即可得出a、b、c的值.也就可求出抛物线的解析式. (2)很显然当△APB面积最大时其实就是P运动到C点时,可根据抛物线的解析式求出抛物线顶点坐标和A、B的坐标,进而可根据AB的长和顶点C的纵坐标的绝对值求出S的值. (3)根据圆周角定理可知:当△APB的外接圆的圆心在x轴上时,∠APB=90°,因此只需看∠ACB是否大于90°即可,如果∠ACB>90°,则说明不存在这样的P点,如果∠ACB=90°,那么此时P点与C重合,如果∠ACB<90°,则一定存在这样的P点,使得△APB的外接圆的圆心在x轴上. 【解析】 (1)由已知得:(a+b+c)2=(a-b+c)2=c2=1 ∴a=1,b=1,c=-1. 因此抛物线的解析式为y=x2+x-1. (2)抛物线的顶点为(-,-). 当动点P从A点出发沿折线ACB运动至顶点C时,△ABP的面积的最大, 易知:A、B的坐标为:(-,0 ),(,0). 因此AB=. 因此S=××=. (3)设抛物线的对称轴与x轴的交点为D, 因此AD=BD=,CD=. 在直角三角形ADC中,tan∠DAC==>1. 因此∠DAC>45°, 由AC=BC,可得∠ACB<90° ∴△ABC是锐角三角形, ∴在折线ACB上一定存在点P使得∠APB=90°,即存在点P使得△APB的外接圆的圆心在x轴上.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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