Question

（2001•常州）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BD∥AE交AC的延长线于点D，求证：AB²=AC•AD．

Answer

欲证AB2=AC•AD，即证AB：AD=AC：AB，可以通过证明△ABC∽△ABD得出．而已知∠BAD公共，又可以根据已知条件推出∠D=∠ABC，由两角对应相等的两个三角形相似，得出△ACB∽△ABD．
证明：∵BD∥AE，
∴∠EAD=∠D．
∵AE切⊙O于点A，
∴∠EAD=∠ABC．
∴∠D=∠ABC．
∵∠BAD=∠BAD，
∴△ACB∽△ABD．
∴AB：AD=AC：AB．
∴AB2=AC•AD．