Question

（2002•泰州）已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D．
（1）求m、n的值，并在给定的直角坐标系中作出一次函数的图象；
（2）如果点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同的速度沿线段AD、CA向D、A运动，设AP=k．
①k为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
②k为何值时，△APQ的面积取得最大值并求出这个最大值．

Answer

（1）首先根据反比例函数的解析式求得n的值，再根据点C的坐标求得m的值．根据直线与坐标轴的交点坐标准确画出函数的图象；
（2）①已知△AOB是直角三角形，要使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，则∠APQ=90°或∠AQP=90°．根据题意表示对应的两条边，再根据相似三角形的对应边的比相等列方程求解；②首先根据相似三角形的对应边的比相等表示出AP边上的高，再进一步表示三角形的面积，根据函数解析式分析其最值．
【解析】
（1）把（4，n）代入反比例函数，得：n=6
把（4，6）代入一次函数y=x+m，得：m=3
∴y=x+3．
令x=0，则y=3；令y=0，则x=-4．（如图）

（2）①根据题意，得AP=CQ=k，根据勾股定理，得AC=10，则AQ=10-k
当∠APQ=90°时，则有，即，k=；
当∠AQP=90°时，则有，即，k=．
②作QM⊥x轴于M，则△AQM∽△ACD，
则有，即，QM=．
则S△APQ=××k=-k2+3k
所以当k=5时，则该三角形的面积的最大值是7.5．