Question

（2001•天津）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM²=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（ ）

A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

Answer

根据等腰直角三角形的性质和直径所对的圆周角是90°，90°圆周角所对的弦是直径逐项判断后利用排除法求解．
【解析】
连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，
再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，
根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，
∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC=45°，正确；
②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF=AB，正确；
③连接FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；
④根据BM=BE，得左边=4BE2，故需证明AB=4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；
⑤正确．
所以①②③⑤共4个正确．故选C．