Question

（2001•天津）已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，AB=8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．
（1）如图，当AP=3cm时，求y的值；
（2）设AP=xcm，试用含x的代数式表示y（cm²）；
（3）当y=2cm²时，试确定点P的位置．

Answer

（1）先根据AP的长，求出PQ的值，然后看看正方形与矩形是否重合，若重合求出重合部分的线段的长，然后根据矩形的面积计算公式进行求解即可．
（2）要分四种情况进行讨论：
①当N在D点或D点左侧时，当正方形PQMN的边MN与矩形EDBF的边ED重合时，利用相似三角形的性质可得出x=，即0＜x≤时，此时正方形与矩形没有重合，因此y=0；
②当N在D点右侧，而P点在D点左侧或与D点重合时，即＜x≤4，此时正方形与矩形重合的面积应该是以DN为长，NM为宽的矩形，DN=PN-PD=PN-（AD-AP）=x-（4-x）=x-4．而NM=PQ=x，因此重合部分的面积应该是y=（x-4）×x=x2-2x；
③当P在D点右侧，而N点在B点左侧或与B点重合时，即4＜x≤时，此时正方形重合部分的面积应该是以正方形边长为长，DE为宽的矩形的面积，PN=x，DE=2，因此此时重合部分的面积是y=x×2=x；
④当P在B左侧时，而N点在AB延长线上时，即＜x＜8时，此时重合部分的面积应该是以DE长为宽，PA长为长的矩形的面积．BP=AB-AP=8-x，BF=DE=2，因此此时重合部分的面积应该是y=（8-x）×2=16-2x．
（3）将y=2代入（2）的式子中，看看求出的x哪个符合条件即可．
【解析】
（1）由于D是AB中点，因此DE是△ABC的中位线，AD=BD=4cm，DE=2cm，
Rt△APQ中，AP=3cm，因此PQ=AP•tanA=3×=1.5cm，
DN=AN-AD=AP+PN-AD=3+1.5-4=0.5，因此重合部分的面积应该是y=DN×MN=1.5×0.5=0.75cm2；

（2）当0＜x≤，y=0；
当＜x≤4，y=，
当4＜x≤，y=x；
当＜x＜8，y=16-2x；

（3）当＜x≤4时，如果y=2，2=，解得x=或x=（舍去）；
当4＜x≤时，如果y=2，x=2，也不符合题意，
当＜x＜8时，如果y=2，2=16-2x，解得x=7，因此当AP=7cm时，y=2cm2．
∴当x=7cm或x=cm时，y=2cm2．