Question

（2004•贵阳）如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁；再顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂…如此进行下去得到四边形A_nB_nC_nD_n．
（1）证明：四边形A₁B₁C₁D₁是矩形；
（2）写出四边形A₁B₁C₁D₁和四边形A₂B₂C₂D₂的面积；
（3）写出四边形A_nB_nC_nD_n的面积；
（4）求四边形A₅B₅C₅D₅的周长．

Answer

（1）由A1D1分别是△ABD的中位线，B1C1是△CBD的中位线知，A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1=BD，故四边形A1B1C1D1是平行四边形，由AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1知，四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=4，B1A1=AC=3，故矩形A1B1C1D1的面积为12，可以得到故四边形A2B2C2D2的面积是A1B1C1D1的面积的一半，为6；
（3）由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形AnBnCnDn的面积为；
（4）由相似图形的面积比等于相似比的平方可得到矩形A5B5C5D5的边长，再求得它的周长．
（1）证明：∵点A1，D1分别是AB、AD的中点，
∴A1D1是△ABD的中位线
∴A1D1∥BD，A1D1=BD，
同理：B1C1∥BD，B1C1=BD
∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1=BD
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，
∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°
∴四边形A1B1C1D1是矩形；

（2）【解析】
由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=4，B1A1=AC=3，
得：四边形A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6；

（3）【解析】
由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
故四边形AnBnCnDn的面积为；

（4）【解析】
方法一：由（1）得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3．
∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1
∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x，宽为3x，则，
解得
∴
∴矩形A5B5C5D5的周长=
方法二：矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积
=（矩形A5B5C5D5的周长）2/（矩形A1B1C1D1的周长）2
即：12=（矩形A5B5C5D5的周长）2：142
∴矩形A5B5C5D5的周长=．