Question

（2005•长春）如图1所示，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线的函数关系式为y=x，AD=8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动，同时点P从点A出发做匀速运动，沿矩形ABCD的边经过点B到达点C，用了14秒．

（1）求矩形ABCD的周长．
（2）如图2所示，图形运动到第5秒时，求点P的坐标．
（3）设矩形运动的时间为t，当0≤t≤6时，点P所经过的路线是一条线段，请求出线段所在直线的函数关系式．
（4）当点P在线段AB或BC上运动时，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似（或位似）？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

Answer

（1）根据题意，AD=8，B点在y=x上，则y=6，即B点坐标为（8，6），AB=6，可求得矩形的周长为28．
（2）由（1）可知AB+BC=14，点P的速度为每秒1个单位．可求得D点坐标为（4，3），点P坐标为（12，8）；
（3）设线段所在直线为y=kx+b，把点（8，0），（12，8），代入解析式利用待定系数法求解得：函数关系式为y=2x-16；
（4）①当点P在AB边运动时，即0≤t≤6，点D的坐标表示为，点P的坐标为（8+t，），根据相似三角形的相似比，解得t=6；当点P与点B重合，此时矩形PEOF与矩形BADC是位似形．则根据相似三角形的相似比可解得t=20，因为20＞6，所以此时点P不在AB边上，舍去．②当点P在BC边运动时，即6≤t≤14，则点D的坐标为，点P的坐标为（14-t，t+6）
同样利用三角形的相似比可求得，因为，此时点P不在BC边上，舍去．
综合可知，当t=6时，点P到达点B，矩形PEOF与矩形BADC是位似形．
【解析】
（1）AD=8，B点在y=x上，则y=6，B点坐标为（8，6），AB=6，矩形的周长为28．

（2）由（1）可知AB+BC=14，P点走过AB、BC的时间为14秒，因此点P的速度为每秒1个单位．
∵矩形沿DB方向以每秒1个单位长运动，出发5秒后，OD=5，此时D点坐标为（4，3），
同时点P沿AB方向运动了5个单位，则点P坐标为（12，8）．

（3）点P运动前的位置为（8，0），5秒后运动到（12，8），
已知它运动路线是一条线段，设线段所在直线为y=kx+b
∴，
解得：
函数关系式为y=2x-16．

（4）方法一：①当点P在AB边运动时，即0≤t≤6，
点D的坐标为，
∴点P的坐标为（8+t，）．
若，则，解得t=6．
当t=6时，点P与点B重合，此时矩形PEOF与矩形BADC是位似形．
若，则，
解得t=20．
因为20＞6，所以此时点P不在AB边上，舍去．
②当点P在BC边运动时，即6≤t≤14，
点D的坐标为，
∴点P的坐标为（14-t，t+6）．
若，则，
解得t=6．
因为＜14，此时点P不在BC边上，舍去．
综上，当t=6时，点P到达点B，矩形PEOF与矩形BADC是位似形．

方法二：当点P在AB上没有到达点B时，，更不能等于．
则点P在AB上没到达点B时，两个矩形不能构成相似形
当点P到达点B时，矩形PEOF与矩形BADC是位似形，此时t=6．
当点P越过点B在BC上时，
若时，由点P在BC上时，坐标为：
（14-t，t+6），（6≤t≤14），
，
解得t=，但＜14．
因此当P在BC上（不包括B点）时，矩形PEOF与矩形BCDA不相似．
综上，当t=6时，点P到达点B，矩形PEOF与矩形BADC是位似形．