Question

（2005•淮安）如图，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点M是线段AB（中点除外）上的动点，以点M为圆心，OM的长为半径作圆，与x轴、y轴分别相交于点C、D．

（1）设点M的横坐标为a，则点C的坐标为______，点D的坐标为______（用含有a的代数式表示）；
（2）求证：AC=BD；
（3）若过点D作直线AB的垂线，垂足为E．
①求证：AB=2ME；
②是否存在点M，使得AM=BE？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直接利用垂径定理可知C（2a，0），D（0，2a+8）；
（2）本题可用直角坐标系中两点间的距离公式分别求算出AC=-4-2a，BD=4-（2a+8）=-4-2a，所以AC=BD；
（3）①根据A（-4，0），B（0，4），D（0，2a+8），M（a，a+4），可知△BDE、△ABO均为等腰直角三角形，E的纵坐标为a+6，可求得ME=（yE-yM）=[a+6-（a+4）]=2，AB=4，所以AB=2ME；
②因为AM=（yM-yA）=（a+4），BE=|yE-yB|=|a+2|，AM=BE，结合条件-4＜a＜0，且a≠2，a=-3可知M（-3，1）；当-2＜a＜0时，a不存在．
【解析】
（1）C（2a，0），D（0，2a+8）；（2分）

（2）方法一：由题意得：A（-4，0），B（0，4），
-4＜a＜0，且a≠2，（3分）
①当2a+8＜4，即-4＜a＜-2时，
AC=-4-2a，BD=4-（2a+8）=-4-2a，
∴AC=BD；（5分）
②当2a+8＞4，即-2＜a＜0时，
同理可证：AC=BD，
综上：AC=BD；（6分）

方法二：①当点D在B、O之间时，

连CD，
∵∠COD=90°
∴圆心M在CD上（3分）
过点D作DF∥AB
∵点M为CD中点
∴MA为△CDF中位线
∴AC=AF（4分）
又DF∥AB
∴
而BO=AO
∴AF=BD
∴AC=BD；（5分）
②点D在点B上方时，同理可证：AC=BD；
综上：AC=BD；（6分）

（3）方法一：
①A（-4，0），B（0，4），D（0，2a+8），M（a，a+4），△BDE、△ABO均为等腰直角三角形，
E的纵坐标为a+6，∴ME=（yE-yM）=[a+6-（a+4）]=2（7分）
AB=4（8分）
∴AB=2ME；（9分）
②AM=（yM-yA）=（a+4），BE=|yE-yB|=|a+2|，（10分）
∵AM=BE，
又-4＜a＜0，且a≠2，
①当-4＜a＜-2时，（a+4）=-（a+2）
∴a=-3，∴M（-3，1）；（11分）
②当-2＜a＜0时，（a+4）=（a+2）
∴a不存在；（12分）

方法二：
①当点D在B、O之间时，作MP⊥x轴于点P、MQ⊥y轴于点Q，取AB中点N，
在Rt△MNO与Rt△DEM中，MO=MD
∠MON=45°-∠MOP
∠EMD=45°-∠DMQ=45°-∠OMQ=45°-∠MOP
∴∠MON=∠EMD
∴Rt△MNO≌Rt△DEM                                                  （7分）
∴MN=ED=EB
∴AB=2NB=2（NE+EB）=2（NE+MN）=2ME                                  （8分）
当点D在点B上方时，同理可证；（9分）
②当点D在B、O之间时，
由①得MN=EB
∴AM=NE                                                             （10分）
若AM=BE，则AM=MN=NE=EB=AB=
∴M（-3，1）（11分）
点D在点B上方时，不存在．                                              （12分）
注：（2）、（3）两问凡需要讨论而没有讨论的，每漏讨论一次扣（1分）．