Question

（2005•南通）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm．
（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；
（2）求AE的长．

Answer

（1）过点D作DM⊥AB，根据已知可求得四边形BCDM为矩形，从而得到DC=MB，因为AB=2DC，从而推出△ABD是等腰三角形，从而得到∠DAB=∠DBA，因为EF∥AB，AE不平行FB，所以AEFB为梯形，从而根据同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形得证；
（2）由已知可得到△DCF∽△BAF，根据相似三角形的对应边成比例，可得到AF的长，再根据△BCF∽△ACB，得到BF2=CF•AF，从而求得BF的长，由第一问已证得BF=AE，所以就求得了AE的长．
（1）证明：过点D作DM⊥AB，
∵DC∥AB，∠CBA=90°，
∴四边形BCDM为矩形．
∴DC=MB．
∵AB=2DC，
∴AM=MB=DC．
∵DM⊥AB，
∴AD=BD．
∴∠DAB=∠DBA．
∵EF∥AB，AE与BF交于点D，即AE与FB不平行，
∴四边形ABFE是等腰梯形．

（2）【解析】
∵DC∥AB，
∴△DCF∽△BAF．
∴==．
∵CF=4cm，
∴AF=8cm．
∵AC⊥BD，∠ABC=90°，
在△ABF与△BCF中，
∵∠ABC=∠BFC=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∵∠FBC+∠ABF=90°，
∴∠FAB=∠FBC，
∴△ABF∽△BCF（AA），即=，
∴BF2=CF•AF．
∴BF=4cm．
∴AE=BF=4cm．