Question

（2005•南通）已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．
（1）当n=5时，共向外作出了______个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为______；
（2）当n=k时，共向外作出了______个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为______（用含k的式子表示）．

Answer

（1）结合图形正确数出前面几个具体值，从而发现等边三角形的个数和等分点的个数之间的关系：是n等分点的时候，每条边可以作（n-2）个三角形，共有3（n-2）个三角形；再根据相似三角形面积的比是边长的比的平方进行计算．
【解析】
（1）当n=5时，共有3×（5-2）=9个小等边三角形，
∴每个小三角形与大三角形边长的比=，
∵大三角形的面积是S，
∴每个小三角形的面积为；‘

（2）由（1）可知，当n=k时，共有3×（k-2）=3（k-2），每个小三角形的面积为．