Question

（2005•盐城）如图，已知：⊙O₁与⊙O₂是等圆，它们相交于A、B两点，O₂在⊙O₁上，AC是⊙O₂的直径，直线CB交⊙O₁于D，E为AB延长线上一点，连接DE．
（1）请你连接AD，证明：AD是⊙O₁的直径；
（2）若∠E=60°，求证：DE是⊙O₁的切线．

Answer

（1）根据直径对的圆周角是直角得到∠ABC是直角，则∠ABD也是直角，故弦AD是直径．
（2）根据已知可求得∠ADE=90°又AD是直径，从而得到DE是⊙O1的切线．
证明：（1）
∵AC是⊙O2的直径，AB⊥DC，
∴∠ABD=90°，
∴AD是⊙O1的直径．

（2）证法一：∵AD是⊙O1的直径，
∴O1为AD中点
．连接O1O2；
∵点O2在⊙O1上，⊙O1与⊙O2的半径相等，
∴O1O2=AO1=AO2，
∴△AO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2=60°．
∵O1为AD中点，O2为AC中点，
∴O1O2∥DC，
∴∠ADB=∠AO1O2=60°．
∵AB⊥DC，∠E=60，
∴∠BDE=30，
则∠ADE=∠ADB+∠BDE=60°+30°=90°，
∴DE是⊙O1的切线．
证法二：连接O1O2；
∵点O2在⊙O1上，⊙O1与⊙O2的半径相等，
∴点O1在⊙O2，
∴O1O2=AO1=AO2，
∴∠O1AO2=60°．
∵AB是公共弦，
∴AB⊥O1O2，
∴∠O1AB=30°．
∵∠E=60°，
∴∠ADE=180°-（60°+30°）=90°．
∴DE是⊙O1的切线．