Question

（2005•辽宁）如图，⊙O的弦AB=10，P是弦AB所对优弧上的一个动点，tan∠APB=2，
（1）若△APB为直角三角形，求PB的长；
（2）若△APB为等腰三角形，求△APB的面积．

Answer

（1）若△APB为直角三角形，则应分AP是直径，和BP是直径两种情况讨论；
（2）若△APB为等腰三角形，应分PA=PB，BA=BP，AB=AP（与BA=BP情况相同）三种情况进行讨论．
【解析】
（1）△APB是直角三角形有两种情况：
作直径AP2、BPl，连接PlA、P2B，
∴P2B=AB÷tan∠APB=5，
PlB=AP2=5，
所以PB的长为5或5；

（2）△APB为等腰三角形时有三种情况：
①PA=PB，
∵∠AOH=∠APB，AB=10
∴OH=，∴OP=，PH=
∴S△APB=；
②BA=BP，
∴∠GAB=∠APB
在⊙O上取一点P4使BP4=BA，连接AP4交P1B于G
设AG=k
∵tan∠APB=2
∴BG=2k
由勾股定理得k=2
∴S△APB=40；
③AB=AP与BA=BP情况相同
∴S△APB=40．