Question

（2005•济南）如图（1），已知圆O是等边△ABC的外接圆，过O点作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，且MN=a．另一个与△ABC全等的等边△DEF的顶点D在MN上移动（不与点M、N重合），并始终保持EF∥BC，DF交AB于点P，DE交AC于点Q．
（1）试判断四边形APDQ的形状，并进行证明；
（2）设DM为x，四边形APDQ的面积为y，试探究y与x的函数关系式；四边形APDQ的面积能取到最大值吗？如果能，请求出它的最大值，并确定此时D点的位置．
（3）如图（2），当D点和圆心O重合时，请判断四边形APDQ的形状，并说明理由；你能发现四边形APDQ的面积与△ABC的面积有何关系吗？为什么？

Answer

（1）应该是平行四边形，已知∠BAC=∠FOE=60°，那么证明∠BPD=∠CQD=60°就是关键，可根据FE∥MN∥BC，用内错角相等，得出∠AMN=∠MDP=∠ANM=∠EDN=60°，那么可根据三角形的内角和得出∠DPM=∠DQN=60°，由此可得出四边形APDQ的两组对边都平行，也就得出是平行四边形的结论．
（2）要求四边形的面积，就要知道一边和这边上的高分别是多少，告诉了DM=x，那么DN=a-x，根据（1）不难得出三角形MDP和DQN都是等边三角形，那么DP=x，DP边上的高可以用DN•sin60°来表示，那么可根据平行四边形的面积公式求出y与x的函数关系式．然后可根据函数的性质得出面积的最大值和D的位置．
（3）应该是菱形，如果D，O重合，那么OM=ON，那么两个等边三角形MDP和DQN就应该全等，那么OP=OQ，因此平行四边形APOQ应该是菱形，有三角形ABC的边长又知道它是等边三角形，那么它的面积就不难求出，（2）中已经得出了平行四边形APOQ的面积，那么可以通过比较得出他们的关系．
【解析】
（1）可知四边形APDQ为平行四边形
证明：由题知△ABC≌△DEF且△ABC
△DEF为等边三角形
∴∠BAC=∠EDF=60°
又∵EF∥BC，MN∥BC
∴EF∥BC∥MN
∴∠MDF=∠DFE=60°，∠FED=∠EDN=60°
∠MNA=∠BCA=60°，∠QDN=∠QND=60°
∴△DQN为等边三角形
∴∠DQN=∠PDQ=60°，
∴PD∥AQ
∴∠BAC=∠DQN=60°，
∴AP∥DQ
∴四边形APDQ为平行四边形．

（2）y=x（a-x）=-x2+ax=-（x-）2+a2
∴当x取时，即D点位于MN的中点位置时，四边形APDQ的面积最大，且最大值为a2．

（3）当D点和圆心O重合时，四边形APDQ为菱形，
理由：由（1）、（2）可知，△MPO，△QON为等边三角形，且MO=ON，
所以△MPQ≌△QON．
因此OP=OQ，又因为四边形APDQ为平行四边形．
所以可知四边形APDQ为菱形，
由题可知，S△ABC=a2，而由（2）知S四边形APDQ=a2
∴，
∴S四边形APDQ=S△ABC．