Question

（2005•聊城）用总长为32m的篱笆墙围成一个扇形的花园．
（1）试写出扇形花园的面积y（m²）与半径x（m）之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）用描点法作出函数的图象；
（3）当扇形花园半径为多少时，花园面积最大？最大面积是多少？此时这个扇形的圆心角是多大（精确到0.1度）？
（4）请回答：如果同样用32m的篱笆围成一个面积最大的矩形花园，这个花园的面积是多少？对比上面的结论，你有什么发现？

Answer

（1）弧长为32-2x，根据扇形面积公式得关系式，根据半径和弧长都大于0得x的取值范围；
（2）取有代表性的点（对称轴左右）连线成图．
（3）运用函数性质求最大值．此题可根据所画图象求解．圆心角可根据弧长公式或面积公式求出；
（4）运用二次函数知识求围成矩形花园时的最大面积，比较后回答．
【解析】
（1）∵扇形半径为xm，
∴扇形的弧长为（32-2x）m．
由扇形面积公式得
y=（32-2x）x，
即y=-x2+16x．（3分）
自变量x的取值范围是0＜x＜16．（4分）

（2）将函数关系式写成y=-（x-8）2+64．
列表其图象如图所示：

x 2 4 6 8 10 12 14
y 28 48 60 64 60 48 28

（3）由图象可知，当x=8时，y有最大值64．
即当扇形半径为8m时，花园面积最大，最大面积为64m2．
设此时扇形的圆心角约为n°，
则•π•82=64解得n≈114.6°．
因此，扇形的圆心角约为114.6°．（10分）

（4）这个矩形花园的面积也是64m2，与最大扇形花园面积相等（或答：周长相等的最大矩形面积与最大扇形的面积相等）．（12分）