Question

（2005•潍坊）（A题）某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB=CD=900米，AD=BC=1700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，BC两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC=500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元．
（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计并在图形中画出；
（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？

（B题）如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别为a、b、c、d．
（1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论．
（2）现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．

Answer

A：（1）根据“垂线段最短”即可画出使修建自来水管道的造价最低时，这三个工厂的自来水管道路线；
（2）根据勾股定理和直角三角形的面积公式求得BH的长，根据相似三角形的对应边的比相等分别求得CF，DG的长，再根据每米造价800元求得价钱．
B：（1）此题可以连接平行四边形的对角线，交点是O．作OO1⊥l于O1．根据梯形的中位线定理得到2OO1=DD1+BB1=b+d=AA1+CC1=a+c．
（2）将l向上平移，分别有直线l过B点时；直线l过B点与D点之间时；直线l过D点时；直线l过C点与D点之间时；直线l过C点时；直线l过C点上方时．结合三角形的中位线定理和梯形的中位线定理进行分析．
（A题）【解析】
（1）过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道路线．
图形如图所示．（3分）

（2）（法一）BE=BC-CE=1700-500=1200（米），
AE==1500（米），
∵△ABE∽△CFE，
得到：．
∴CF===300（米）．（5分）
∵△BHE∽△CFE，
得到，
∴BH===720（米）．（6分）
∵△ABE∽△DGA，
∴，
∴DG===1020（米）．（9分）
所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是
720×800=576000（元），300×800=240000（元），1020×800=816000（元）    （10分）
法二（设∠AEB=∂，利用三角函数可求得BH、CF、DG的长）

（B题）（1）a+c=b+d．（2分）
证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO1为点O到l的距离，
∴OO1为直角梯形BB1D1D的中位线，
∴2OO1=DD1+BB1=b+d；
同理：2OO1=AA1+CC1=a+c．
∴a+c=b+d    （4分）

（2）不一定成立（5分）
分别有以下情况：
直线l过A点时，c=b+d；
直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；
直线l过B点时，c-a=d；
直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；
直线l过D点时，a-c=b；
直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；
直线l过C点时，a=b+d；
直线l过C点上方时，a+c=b+d．     （10分）