Question

（2005•太原）如图，直线y=x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，⊙C是△ABO的外接圆（O为坐标原点），∠BAO的平分线交⊙C于点D，连接BD、OD．
（1）求证：BD=AO；
（2）在坐标轴上求点E，使得△ODE与△OAB相似；
（3）设点A′在OAB上由O向B移动，但不与点O、B重合，记△OA′B的内心为I，点I随点A′的移动所经过的路程为l，求l的取值范围．

Answer

（1）利用直线y=x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B，求出A（0，2），B（-2，0），利用勾股定理求出三角形ABO的边，由边的长度，可求出∠ABO=30°，∠BAO=60°，利用∠BAO的平分线交⊙C于点D，可求出∠ABO=30°=∠BAD，所以BD=AO；
（2）分两种情况：①当∠ODE=90°时，点E的坐标为E1（0，-4），E2（-，0）；
②当∠OED=90°时，E3（0，-1），E4（-，0）；
（3）可设I为△OA'B的内心连接BI，利用动点I到定点D的距离为2，即点I的轨迹是以点D为圆心，2为半径的弧OIB（不含点O、B），可求出弧OIB的长为，进而求出l的取值范围．
（1）证明：∵直线y=x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B
∴A（0，2），B（-2，0），
∴OA=2，0B=2，AB=4，
∴∠ABO=30°，∠BAO=60°，
∵∠BAO的平分线交⊙C于点D，
∴∠ABO=30°=∠BAD，
∴BD=AO；

（2）【解析】

①当∠ODE=90°时，点E的坐标为E1（0，-4），E2（-，0）；
②当∠OED=90°时，E3（0，-1），E4（-，0）；
∴符合点E的坐标有四个；

（3）【解析】

如图，设I为△OA'B的内心连接BI，连接BH，
∴∠A′BI=∠IBO，
∵BD=OD，∴∠BA′D=∠DBO，
∴∠A′BI+∠BA′D=∠IBO+∠OBD，即∠BID=∠IBD，
∴ID=BD，
∵BD=OA=2，∴ID=2，
∴动点I到定点D的距离为2，即点I的轨迹是以点D为圆心，2为半径的弧OIB（不含点O、B），
弧OIB的长为，
则l的取值范围是0＜l＜．