Question

（2005•山西）如图，在平面直角坐标系xOy，半径为1的⊙O分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点，抛物线y=x²+bx+c经过点C且与直线AC只有一个公共点．
（1）求直线AC的解析式；
（2）求抛物线y=x²+bx+c的解析式；
（3）点P为（2）中抛物线上的点，由点P作x轴的垂线，垂足为点Q，问：此抛物线上是否存在这样的点P，使△PQB∽△ADB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为⊙O的半径为1，所以可知A、B、C、D四点的坐标，根据A、C两点的坐标用待定系数法即可求出直线AC的解析式．
（2）因为C点坐标为（0，-1），抛物线过C点，所以c=-1，将y=-x-1代入解析式y=x2+bx-1得x2+（b+1）x=0，因为抛物线与直线只有一个交点，故判别式△=0，可求得b的值；
（3）假设存在符合条件的点P，根据相似三角形的性质，判断出PQ=QB，列出关于P点坐标的表达式，即可解答．
【解析】
（1）由题意可知A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），D（0，1），
设过A、C两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（-1，0），C（0，-1）代入得，
解得，
故直线AC的解析式为y=-x-1；

（2）∵抛物线过C（0，-1），
∴x2+（b+1）x=0，
∵直线AC与抛物线只有一个公共点C，
∴方程x2+（b+1）x=O有两个相等实数根，
即△=0，
∴b1=b2=-1，
∴抛物线解析式为y=x2-x-1；

（3）假设存在符合条件的点P，
设P点坐标为（a，a2-a-1），则Q（a，0），
∵△ADB为等腰直角三角形，△PQB∽△ADB，
∴△PQB为等腰直角三角形，又PQ⊥QB，
∴PQ=QB即|a2-a-1|=|a-1|，
当a2-a-1=a-1时，
解得：a1=0，a2=2；
当a2-a-1=-（a-1）时，
解得：a3=，a4=-，
∴a1=0，a2=2，a3=，a4=-，
∴存在符合条件的点P，共有四个，
分别为P1（O，-1）、P2（2，1）、P3（，1-）、P4（-，1+）．