Question

（2005•绵阳）（一）如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD的边长为4．现做如下实验：
抛掷一枚均匀的正四面体骰子（它有四个顶点，各顶点的点数分别是1至4这四个数字中的一个），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的顶点的点数作为直角坐标系中P点的坐标（第一次的点数作横坐标，第二次的点数作纵坐标）．
（1）求P点落在正方形ABCD面上（含正方形内和边界，下同）的概率；
（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为？若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，请说明理由；
（二）若将（一）中所做实验用的“正四面体骰子”改为“各面标有1至6这六个数字中的一个的正方体骰子”，其余（实验步骤、作用）均不变．将正方形ABCD平移整数个单位，试求出点P落在正方形ABCD面上的概率．

Answer

（一）依题意得点P的横坐标有数字1，2，3，4四种选择，纵坐标也有数字1，2，3，4四种选择，故点P的坐标共有16种情况，有四种情况将落在正方形ABCD上，所以概率为．要使点P落在正方形面上的概率为，所以要将正方形移动使之符合．
（二）依题意可得如点P的横纵坐标都有数字1，2，3，4，5，6六种选择，所以构成点P的坐标共有36种情况．
【解析】
（一）（1）根据题意，点P的横坐标有数字1，2，3，4四种选择，点P的纵坐标也有数字1，2，3，4四种选择，所以构成点P的坐标共有4×4=16种情况．其中点P的（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）四种情况将落在正方形ABCD面上，故所求的概率为．

（2）因为要使点P落在正方形ABCD面上的概率为，所以只能将正方形ABCD向上或向右整数个单位平移，且使点P落在正方形面上的数目为12．即
∴存在满足题设要求的平移方式：先将正方形ABCD上移2个单位，后右移1个单位（先右后上亦可）；或先将正方形ABCD上移1个单位，后右移2个单位（先右后上亦可）．

（二）点P的横、纵坐标都有数字1，2，3，4，5，6六种选择，所以构成点P的坐标共有6×6=36种情况．
（1）移动0（即不移动）时，为．
（2）先下移1个单位，后左移0，1个单位时，为，，即，．
（3）先下移1个单位，后右移1，2，3个单位，为，，，即，，．
（4）先左移1个单位，后下移0.1个单位时，为，，即，．
（5）先左移1个单位，后上移1，2，3个单位时，为，，，即，，．
（6）上移1，2，3个单位时，为，，，即，，．
（7）右移1，2，3个单位时，为，，，即，，．
（8）先上移1个单位，后右移1，2，3个单位时，为，，，即，，．
（9）先上移2个单位，后右移1，2，3个单位时，为，，，即，，．
（10）先上移3个单位，后右移1，2，3个单位时，为，，，即，，．
（11）正方形下移或左移超过1个单位时，点P落在正方形ABCD面上的概率为0．在此点P落在正方形ABCD面上的概率（不同）为：
0，，，，，，，，，，，，，，．