Question

（2005•四川）己知：如图，E、F分别是▱ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连接MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论．

Answer

（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定，在△ABE和△CDF中，很容易确定SAS，即证结论；
（2）在已知条件中求证全等三角形，即△ABE≌△CDF，△MBF≌△NDE，得两对边分别对应相等，根据平行四边形的判定，即证．
证明：（1）∵▱ABCD中，AB=CD，∠A=∠C，
又∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF；

（2）四边形MFNE平行四边形．
由（1）知△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，∠ABE=∠CDF，
又∵ME=BM=BE，NF=DN=DF
∴ME=NF=BM=DN，
又∵∠ABC=∠CDA，
∴∠MBF=∠NDE，
又∵AD=BC，
AE=CF，
∴DE=BF，
∴△MBF≌△NDE，
∴MF=NE，
∴四边形MFNE是平行四边形．