Question

已知C是以AB为直径的⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交直线AB于点D，则当△ACD为等腰三角形时，∠ACD的度数为    ．

Answer

如图，连接OC，BC．
点C的位置有两种情况，
①为左图时，AC=CD；
②右上图．AD=AC．
根据切线的性质和三角形内角和定理分别求解．
【解析】
如图，连接OC，BC．
AB是直径，则有∠ACB=90°；CD是切线，C是切点，有∠OCD=90°；则点C的位置有两种情况：
①为左图时，AC=CD，OC=OA，
∴∠D=∠A=∠ACO，∠COD=2∠A=2∠D．
∵∠COD+∠D=2∠D+∠D=90°，
∴∠ACO=∠D=30°，∠ACD=∠OCD+∠ACO=120°．
②右上图．∵AD=AC，
∴∠D=∠DCA；
由弦切角定理知，∠DCA=∠B；
∴∠D+∠B+∠DCA+∠ACB=3∠DCA+90°=180°，
∴∠ACD=30°．
∴∠ACD的度数为120°或30°．