Question

如图，已知一四边形菜地ABCD为菱形，点E，F分别位于边AB，BC上，AD=6，AE=5BE，BF=5CF，若△DEF为等边三角形．
（1）求∠A的度数；
（2）求菱形ABCD的面积．

Answer

（1）过E作AD，BC的垂线交AD和CB的延长线于H，G．易得△BGE∽△AHG，若设BG=x，GE=y，则EH=5y，AH=5x，
在△FGE和△DEH中根据勾股定理可以用x，y表示出EF，ED．此时得到一个方程组，解出x，y的值就不难得到∠A的度数；
（2）在直角△AHE中根据三角函数可以求出高EH．则得到菱形的高GH的长，根据菱形的面积公式就可以求出．
【解析】
（1）如图，过E作AD，BC的垂线交AD和CB的延长线于H，G．
∵AD∥CB，
∴△BGE∽△AHE，
∵AB=AD=6，
∴AE=BF=5，CF-BE=1，
令BG=x，GE=y，
则EH=5y，AH=5x，
在△FGE中，，
在△DEH中，，
根据EF=ED，BE=1，易得EF2=ED2，
即有，
解得，，
∴tan∠A=，
∴∠A=60°；

（2）由以上求得知，EH=AEsin60°=，，
故．