Question

已知二次函数y=x²-2mx+1．记当x=c时，函数值为y_c，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a，b，总有y_a+y_b≥1．

Answer

求ya+yb≥1，实际上是求两个函数在0≤x≤1内的最小值之和大于或等于1，据此把问题转化，根据对称轴x=m，是否在0≤x≤1内，分类讨论．
【解析】
设y在0≤x≤1的最小值为M，原问题等价于2M≥1，M≥，
二次函数y=x2-2mx+1的图象是一条开口向上的抛的线，
①当对称轴x=m≤0时，由图象可知，x=0时，y最小=1，这时1≥成立；
②当对称轴x=m，0＜m＜1时，由图象可知x=m时，y最小且y最小=1-m2，有1-m2≥，m2≤，故有0＜m≤；
③当对称轴x=m，m≥1时，由图象可知，x=1时，y最小且y最小=2-2m，这时有2-2m≥，m≤与m≥1矛盾．
综上可知，满足条件的m存在，且m的取值范围是m≤．