Question

（2006•北京）已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E．

（1）求证：CD是半圆O的切线（图1）；
（2）作EF⊥AB于点F（图2），猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；
（3）在上述条件下，过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时（图3），求∠EOC的正切值．

Answer

（1）连接OD，由直径对的圆周角是直角知∠CDO=90°，再切线的判定方法即可判定CD是半圆O的切线；
（2）连接OD、OE，延长OE交CD于点K，作EG⊥CD于点G，则根据垂直于同一直线的两条直线平行知，EG∥OD．CE平分∠DCB，由角的平分线上的点到角的两边的距离相等知EG=EF，由直径对的圆周角是直角知∠CEO=∠CEK=90°，易得△COE≌△CKE，有OE=KE，即点E是OK的中点，所以EG是△ODK的OD边对的中位线，则EG是OD的长的一半，从而得证题设；
（3）、如图，延长OE交CD于点K，设OF=x，EF=y，由2中知，OA=OK=2OE=2y，易得四边形AFEN是矩形，有NE=AF=OA-OF=2y-x．由于NE∥OC，点E是OK的中点，则EN是△OCK的OC对的中位线，有N是CK的中点．所以CO=2NE=2（2y-x），进一步得到CF=CO-OF=4y-3x，由Rt△CEF∽Rt△EOF则有EF2=CF•OF，由此得到关于x，y的方程，变形即可求出或进而确定tan∠EOC的值．
（1）证明：如图，连接OD，
则OD为半圆O的半径
∵OC为半圆M的直径
∴∠CDO=90°
∴CD是半圆O的切线；

（2）【解析】
猜想：EF=OA．
证明：如图2，
连接OD、OE，延长OE交CD于点K，作EG⊥CD于点G，则EG∥OD，
∵CE平分∠DCB，
∴∠OCE=∠KCE．
∵EF⊥AB，
∴EG=EF．
∵OC是半圆M的直径，E为半圆M上的一点，
∴∠CEO=∠CEK=90°．
∵CE为公共边，
∴△COE≌△CKE．
∴OE=KE．
∵EG∥OD，
∴DG=GK．
∴EF=EG=OD=OA．

（3）【解析】
如图3，
延长OE交CD于点K，
设OF=x，EF=y，则OA=2y，
∵NE∥CB，EF⊥CB，NA切半圆O于点A，
∴四边形AFEN是矩形，
∴NE=AF=OA-OF=2y-x，
同（2）证法一，得E是OK的中点，
∴N是CK的中点，
∴CO=2NE=2（2y-x），
∴CF=CO-OF=4y-3x，
∵EF⊥AB，CE⊥EO，
∴Rt△CEF∽Rt△EOF，
∴EF2=CF•OF，即y2=x（4y-3x），
解得或，
当=3时，tan∠EOC===3，
当=1时，点C与点A重合，不符合题意，故舍去，
∴tan∠EOC=3．