Question

（2004•聊城模拟）如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A-D-C以2cm/s的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，线段EF与BC平行？
（2）设1＜t＜2，当t为何值时，EF与半圆相切？
（3）1≤t＜2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值．

Answer

（1）如果EF∥BC，那么根据ABCD是正方形可知BEFC是矩形，则BE=CF，据此列出关于t的方程，求出方程的解即为本问答案．
（2）如果EF与半圆相切，由1＜t＜2，正方形ABCD中BC=2cm，以及点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A-D-C以2cm/s的速度向点C运动，可知此时E点在AB边上，F点在CD边上，那么根据切线长定理，得EF=BE+CF，则EF可用含t的代数式表示，过F点作KF∥BC交AB于K，得∠EKF=90°，KF=2，EK=BE-CF，EF也用含t的代数式表示，根据勾股定理得EF2=EK2+FK2列出关于关于t的方程，求出方程的解，再根据1＜t＜2来进行取舍．
（3）因为P在AC上，而AC是定长，如果AP：PC的值是一个常数，那么点P的位置就不发生变化，否则就发生变化．由1≤t＜2，同样可知此时E点在AB边上，F点在CD边上，那么由AB∥DC得出△AEP∽△CFP，从而AP：PC=AE：CF，用含t的代数式分别表示AE，CF，得出AE：CF=1：2，则AP：PC=1：2．
【解析】
（1）设E、F出发后运动了t秒时，有EF∥BC（如图1）则
BE=t，CF=4-2t，即有t=4-2t，t=；
∴当t为秒时，线段EF与BC平行．

（2）设E、F出发后运动了t秒时，EF与半圆相切（如图2），过F点作KF∥BC交AB于K，
则BE=t，CF=4-2t，EK=t-（4-2t）=3t-4，
EF=EB+FC=t+（4-2t）=4-t．
又∵EF2=EK2+FK2，
∴（4-t）2=（3t-4）2+22．
即2t2-4 t+1=0，解得t=，
∵1＜t＜2，∴；
∴当t为秒时，EF与半圆相切，（8分）

（3）当1≤t＜2时，E、F出发后运动了t秒时，EF位置如图3所示，则
BE=t，AE=2-t，CF=4-2t，
∴，
又∵AB∥DC，
∴△AEP∽△CFP．
∴；
即点P位置与t的取值无关．
∴当1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化，且AP：PC的值为．（12分）