Question

（2006•漳州）已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，BD是AC边上的中线，分别以AC，AB所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）．
（1）在BD所在直线上找出一点P，使四边形ABCP为平行四边形，画出这个平行四边形，并简要叙述其过程；
（2）求直线BD的函数关系式；
（3）直线BD上是否存在点M，使△AMC为等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）因为BD是AC边上的中线，所以过A画AP∥BC，交直线BD于P，连接PC，可得到△ADP≌△CDB．
即可得到BD=CD．利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可知四边形ABCP是所画的平行四边形；
（2）因为AB=AC=4，BD是AC边上的中线，所以可得到AD=DC=2，即B（0，4），D（2，0）．
可设直线BD的函数关系式：y=kx+b，将B、D的坐标代入，得到关于k、b的方程组，解之即可；
（3）因为M在直线BD上，所以可设M（a，-2a+4），因为△AMC为等腰三角形，所以需分情况讨论：
分三种情况：
①若AM=AC，利用两点间的距离公式可得AM2=a2+（-2a+4）2，因为AC2=16，所以可得到关于a的方程，解之即可；
②若MC=AC，利用两点间的距离公式可得MC2=（4-a）2+（-2a+4）2，AC2=16，所以可得到关于a的方程，解之即可；
③若AM=MC，利用两点间的距离公式可得AM2=a2+（-2a+4）2，MC2=（4-a）2+（-2a+4）2，a2+（-2a+4）2=（4-a）2+（-2a+4）2解之即可，又因M5（2，0）点在AC上，构不成三角形，所以应舍去．
【解析】
（1）（4分）
正确画出平行四边形ABCP．                           （2分）
叙述画图过程合理．                                 （4分）
方法一：在直线BD上取一点P，使PD=BD
连接AP，PC．                                        （1分）
所以四边形ABCP是所画的平行四边形．                  （2分）
方法二：过A画AP∥BC，交直线BD于P，
连接PC．                                            （1分）
所以四边形ABCP是所画的平行四边形．                  （2分）

（2）（4分）
∵AB=AC=4，BD是AC边上的中线，
∴AD=DC=2．
∴B（0，4），D（2，0）．                            （2分）
设直线BD的函数关系式：y=kx+b，
得解得．                      （3分）
∴直线BD的函数关系式：y=-2x+4．                    （4分）

（3）（6分）
设M（a，-2a+4）．                                  （2分）
分三种情况：
①AM=AC．
∵AM2=a2+（-2a+4）2，AC2=16．
∴a2+（-2a+4）2=16．解得．
∴M1（0，4），．               （3分）
②MC=AC．
∵MC2=（4-a）2+（-2a+4）2，AC2=16．
∴（4-a）2+（-2a+4）2=16．
解得．
∴M3（4，-4），．                  （4分）
③AM=MC．
∵AM2=a2+（-2a+4）2，MC2=（4-a）2+（-2a+4）2，∴a2+（-2a+4）2=（4-a）2+（-2a+4）2，解得a5=2．
∴M5（2，0），这时M5点在AC上，构不成三角形，舍去． （5分）
综上所述，在直线BD上存在四点，即M1（0，4），，M3（4，-4），符合题意．  （6分）