Question

（2006•漳州）如图，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取两点E，F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G，H．
（1）求△PEF的边长；
（2）在不添加辅助线的情况下，当F与C不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；
（3）若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有何数量关系并证明你猜想的结论．

Answer

（1）由题意知，等边△EFP的高与矩形的AB边相等从而根据三角函数即可求得其边长；
（2）根据已知及相似三角形的判定方法即可证得相似三角形；
（3）根据已知利用余切及三角形内外角的性质不难求得PH与BE的关系．
【解析】
（1）过P作PQ⊥BC于Q，
∵矩形ABCD，
∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC．
∴PQ=AB=．
∵△PEF是等边三角形，
∴∠PFQ=60°．
在Rt△PQF中sin60°=，
∴PF=2．
∴△PEF的边长为2．

（2）方法一：△ABC∽△CDA．
理由：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴∠B=∠D=90°，
∴△ABC∽△CDA．
方法二：△APH∽△CFH．
理由：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠1，
又∵∠3=∠4，
∴△APH∽△CFH．

（3）猜想：PH与BE的数量关系是：PH-BE=1，
证法一：在Rt△ABC中，AB=，BC=3，
∴tan∠1=．
∴∠1=30°．
∵△PEF是等边三角形，
∴∠2=60°，PF=EF=2．
∵∠2=∠1+∠3，
∴∠3=30°．
∴∠1=∠3．
∴FC=FH．
∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3，FC=FH，EF=2，
∴BE+FC=3-2=1，
∴PH-BE=1．
证法二：在Rt△ABC中，AB=，BC=3，
∴tan∠1=．
∴∠1=30°．
∵△PEF是等边三角形，PE=2，
∴∠2=∠4=∠5=60°．
∴∠6=90°．
在Rt△CEG中，∠1=30°，
∴EG=EC，即EG=（3-BE）．
在Rt△PGH中，∠7=30°，
∴PG=PH．
∴PE=EG+PG=（3-BE）+PH=2．
∴PH-BE=1．
证法三：在Rt△ABC中，AB=，BC=3，
∴tan∠1=，AC2=AB2+BC2∴∠1=30°，AC=2．
∵△PEF是等边三角形，
∴∠4=∠5=60°．（3分）
∴∠6=∠8=90°．
∴△EGC∽△PGH，
∴．
∴①
∵∠1=∠1，∠B=∠6=90°，
∴△CEG∽△CAB．
∴即．
∴EG=（3-BE）②
把②代入①得，．
∴PH-BE=1．