Question

（2006•佛山）已知：在四边形ABCD中，AB=1，E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设四边形EFGH的面积为S，AE=x（0≤x≤1）．
（1）如图①，当四边形ABCD为正方形时，
①求S关于x的函数解析式，并求S的最小值S；
②在图②中画出①中函数的草图，并估计S=0.6时x的近似值（精确到0.01）；
（2）如图③，当四边形ABCD为菱形，且∠A=30°时，四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）①四边形ABCD为正方形，易得四边形EFGH为正方形，那么面积S=HE2，可求得二次函数的最值；②看二次函数上y=0.6时对应的x的值即可．
（2）易得△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH．那么四边形EFGH的面积=菱形ABCD的面积-2（S△AHE+S△EBF）利用30°的三角函数值求得两三角形边上的高即可求解．
【解析】
（1）①在Rt△AEH中，AE=x，AH=1-x，
则S=HE2=x2+（1-x）2
=2x2-2x+1=2（x-）2+
∴当x=时，S=
②列表：
 x  0  0.3 0.5  0.7  1 
 y    0.58  0.5  0.58  0

在直角坐标系中描点、画图（图2中粗线）．
（注：作图时，不列对应值表不扣分）
观察函数的图象，可知当S=0.6时，x≈0.27和x≈0.73．
验证：当x=0.27时，S=0.6029；当x=0.28时，S=0.5984．
从而取x≈0.28．同理取x≈0.72．

（2）四边形EFGH的面积存在最小值．
理由如下：
由条件，易证△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB且FN交EB的延长线于N
∵AE=x，则AH=1-x
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°
∴HM=AH=（1-x）
同理得FN=BF=x
∴S△AEH=AE•HM=x（1-x），S△EBF=EB•FN=x（1-x）
又∵SABCD=
∴S=-4×x（1-x）=x2-x+=（x-）2+
∴当x=时，四边形EFGH的面积存在最小值．