Question

如图，已知⊙O中，弦BC=8，A是的中点，弦AD与BC交于点E，AE=5，ED=，M为上的动点，（不与B、C重合），AM交BC于N．
（1）求证：AB²=AE•AD；
（2）当M在上运动时，问AN•AM、AN•NM中有没有值保持不变的？若有的话，试求出此定值；若不是定值，请求出其最大值；
（3）若F是CB延长线上一点，FA交⊙O于G，当AG=8时，求sin∠AFB的值．

Answer

（1）连接BD，由等弧对等角得∠ABC=∠ABD，故可得△ABE∽△ADB，有即AB2=AE•AD；
（2）连接BM，同（1）可证△ABM∽△ANB，则有即AN•AM=AB2，而AB2=AE•AD，所以AN•AM=AE•AD为定值．由相交弦定理知AN•NM=BN•CN=BN（8-BN）=-（BN-4）2+16，故由二次函数的性质知，AN•NM有最大值为16；
（3）作直径AH交BC于K，连接GH，由勾股定理可求得AK的值，由相交弦定理知AK•KH=BK•KC求得KH的值，由同角的余角相等知，∠F=∠H，从而有sinF=sinH=AG：AH而求得sinF的值．
（1）证明：连接BD，
∵，
∴∠ABC=∠ADB．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB．
∴．
∴AB2=AE•AD．

（2）【解析】
连接BM，同（1）可证△ABM∽△ANB，
则，
∴AN•AM=AB2．
∴AN•AM=AE•AD==80，
即AN•AM为定值，设BN=x，则CN=（8-x），
由相交弦定理看得：AN•NM=BN•CN=x（8-x）=-x2+8x=-（x-4）2+16，（8分）
故当BN=X=4时，AN•NM有最大值为16．

（3）【解析】
过点A作直径AH交BC于K，连接GH，
∵A是的中点，
∴AH⊥BC，且BK=KC=4．
∴AK2=AB2-BK2=80-16=64．
∴AK=8．
又由AK•KH=BK•KC得：．
∴AH=10．
又∵∠AGH=∠BKA=90°，且∠GAH=∠KAF，
∴∠F=∠H．（11分）
∴sinF=sinH===．