Question

（2006•河池）如图，已知AB为⊙O的直径，⊙O₁以OA为直径，⊙O的弦AD交⊙O₁于点C，BC⊥OD于点E．
（1）求证：BC为⊙O₁的切线；
（2）若OE=2，求⊙O的半径及AC的长．

Answer

（1）连接01C，OC，可证得O1C是△AOD的中位线，利用平行可求得01C⊥BC那么BC为⊙O1的切线；
（2）可利用已知得出△ACO∽△CEO，进而得出=，进而求得CO，利用勾股定理求得AC的长．
（1）证明：连接01C，OC；
∵AO是⊙O1的直径，
∴∠ACO=90°，
即OC⊥AD，
∴AC=CD，
∵AO1=OO1，
∴O1C是△AOD的中位线，
∴O1C∥OD．
∵BC⊥OD，
∴O1C⊥BC，
∴BC为⊙O1的切线．

（2）【解析】
∵OE∥01C，
∴==，
∴01C=3，
∴AO=201C=6．
∵BC为⊙O1的切线，
∴∠BCO=∠A，
∵∠OEC=∠ACO，
∴△ACO∽△CEO，
∴=，
∴=，
解得：CO=2，
∴AC==2．