Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点左、右两侧），与y轴正半轴交于点C，OB=OC=4OA，△ABC的面积为40．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若以抛物线上一点P为圆心的圆恰与直线BC相切于点C，求点P的坐标．

Answer

（1）求A、B、C三点的坐标，可以根据△ABC的面积为40，设A（-k，0），则点B、C的坐标为（4k，0）、（0，4k）、k＞0，得到关于k的方程，从而得出；
（2）代入法求出抛物线的解析式；
（3）代入法先求出直线BC的解析式，由切线的性质知PC⊥BC，延长PC交x轴于点Q，求出Q点的坐标，进而得到直线PQ的解析式，结合抛物线的解析式求得满足条件的点P的坐标为（4，12）．
【解析】
（1）由题意设A（-k，0），则点B、C的坐标为（4k，0）、（0，4k）、k＞0，
∴AB=5k，由S△ABC=×5k×4k=40，得k=2
∴A（-2，0）、B（8，0）、C（0，8）

（2）设抛物线y=a（x+2）（x-8），把（0，8）代入，
得a=
∴y=-（x+2）（x-8）
即y=-x2+3x+8

（3）易得直线BC为y=-x+8
由⊙P切BC于C，知PC⊥BC，延长PC交x轴于点Q，则OQ=OC=OB=8，
故得Q（-8，0），进而，直线PQ的解析式为y=x+8
解方程组
由于点（0，8）即为点C，不合题意，舍去．
所以，满足条件的点P的坐标为（4，12）．