Question

（2006•河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于A、B两点．
（1）求两点的坐标；
（2）设是直线AB上一动点（点P与点A不重合），设⊙P始终和x轴相切，和直线AB相交于C、D两点（点C的横坐标小于点D的横坐标）设P点的横坐标为m，试用含有m的代数式表示点C的横坐标；
（3）在（2）的条件下，若点C在线段AB上，求m为何值时，△BOC为等腰三角形？

Answer

（1）因为直线y=-x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，所以分别令x=0、y=0，即可求出A、B的坐标；
（2）设点C的横坐标为n．由（1）知AB==5，所以sin∠OBA=，要求点C的横坐标，可过C作CE⊥x轴于E，过P作PG⊥x轴于G，PF⊥CE于F，则∠FCP=∠OBA，PF=m-n．
①若m＜3时，因为P点的横坐标为m，P在直线y=-x+4上，所以PC=PG=-m+4，利用三角函数可得PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA，即可得到关于m、m的关系式，整理即可；
②当m＞3时，P在x轴的下方，所以PC=PG=，PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA，整理即可得到另一个m、n的关系式；
（3）当点C在线段AB上时，由（2）知，C点的横坐标n=m-，因为△BOC为等腰三角形，所以需要分情况讨论：
①当CB=CO时，因为△OBA是直角三角形，∠BOA=90°，所以此时C为AB的中点，C点的横坐标为，即n=，即，解之即可；
②当CB=OB=4时，因为AB=5，可得AC=AB-CB=1，利用三角函数可得AE=AC•cos∠OAB=，又因OE+AE=OA，就可得到关于m的方程，解之即可；
③当OC=OB时，因为OB＞OA，所以C在线段BA的延长线上，即在线段AB上不存在点C，使OC=OB．
【解析】
（1）当x=0时，y=4；当y=0时，-x+4=0，x=3．
∴A（3，0），B（0，4）．（2分）

（2）设点C的横坐标为n．由（1）知AB==5，
∴sin∠OBA=．
过C作CE⊥x轴于E，过P作PG⊥x轴于G，PF⊥CE于F，
则∠FCP=∠OBA，PF=m-n．
①当m＜3时，∵PC=PG=-m+4，
∴PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA，
∴m-n=（-m+4）×．
解得n=m-．（5分）
②当m＞3时，PC=PG=，PF=PC•sin∠FCP=PC•sin∠OBA，
∴m-n=（m-4）×．
解得n=m+．（7分）

（3）当点C在线段AB上时，由（2）知，C点的横坐标n=m-，
以下两种情况△BOC为等腰三角形．
①当CB=CO时，
∵△OBA是直角三角形，∠BOA=90度．
∴此时C为AB的中点，
∴C点的横坐标为．
∴，解得m=．（9分）
②当CB=OB时，
∵AB=5，
∴AC=AB-CB=1，
∴AE=AC•cos∠OAB=．
∵OE+AE=OA，
∴，解得m=．
∵OB＞OA，
∴在线段AB上不存在点C，使OC=OB．
所以，当m=或m=时，△BOC为等腰三角形．（11分）