Question

（2006•武汉）（北师大版）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB．其中相似的为（ ）

A．①④
B．①②
C．②③④
D．①②③

Answer

根据判定三角形相似的条件对选项逐一进行判断
【解析】
根据题意得：∠BAE=∠ADC=∠AFE=90°
∴∠AEF+∠EAF=90°，∠DAC+∠ACD=90°
∴∠AEF=∠ACD
∴①中两三角形相似；

容易判断△AFE∽△BAE，得=，
又∵AE=ED，
∴=
而∠BED=∠BED，
∴△FED∽△DEB．
故②正确；

∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠GCD，
∵∠ABE=∠DAF，∠EBD=∠EDF，且∠ABG=∠ABE+∠EBD，
∴∠ABG=∠DAF+∠EDF=∠DFC；
∵∠ABG=∠DFC，∠BAG=∠DCF，
∴△CFD∽△ABG，故③正确；
所以相似的有①②③．
故选D．