Question

（2006•武汉）（北师大版）已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图1摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H．
（1）当α=30°时（如图2），求证：AG=DH；
（2）当α=60°时（如图3），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；
（3）当0°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由．

Answer

（1）由题意易证出AG=AD，DH=DB，而AD=DB，可得AG=DH；
（2）可由证△AMD≌△DNB，再证△AMG≌△DNH，证出AG=DH；
（3）可证Rt△AGM∽Rt△NHB，Rt△DGM∽Rt△NHD，证出AG=DH．
【解析】
（1）∵α=30°，
∴∠ADM=30°，
∵∠A=30°，
∴∠ADM=∠A．
∴AM=DM．
又∵MG⊥AD于G，
∴AG=AD．
∵∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°，∠B=60°，
∴△CDB是等边三角形．
又∵CH⊥DB于H，
∴DH=DB．
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=AB．
∵BC=BD，
∴AD=DB．
∴AG=DH．

（2）结论成立．理由如下：
在△AMD与△DNB中，∠A=∠NDB=30°，AD=DB，∠MDA=∠B=60°，
∴△AMD≌△DNB，
∴AM=DN．
又∵在△AMG与△DNH中，∠A=∠NDB，∠MGA=∠NHD=90°，
∴△AMG≌△DNH．
∴AG=DH．

（3）方法一：【解析】
结论成立．
Rt△AGM∽Rt△NHB，Rt△DGM∽Rt△NHD．
∵∠C=∠MDN=90°
∴C，D两点在以MN为直径的圆上，
∴C，M，D，N四点共圆
∴∠DNM=∠DCA=30°，
∴DN=DM
又∵△DGM∽△NHD，
∴DH=MG=AG．
方法二：
【解析】
当0°＜α＜90°时，（1）中的结论成立．
在Rt△AMG中，∠A=30°，
∴∠AMG=60°=∠B．
又∠AGM=∠NHB=90°，
∴△AGM∽△NHB．
∴①
∵∠MDG=α，
∴∠DMG=90°-α=∠NDH．
又∠MGD=∠DHN=90°，
∴Rt△MGD∽Rt△DHN．
∴= ②
①×②，得．=
由比例的性质，得 =
∵AD=DB，
∴AG=DH．