Question

（2006•咸宁）如图①，在△ABC中，AB=AC，O为AB的中点．以O为圆心，OB为半径的圆交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，我们可以证得DE是⊙O的切线．
（1）若点O沿AB向点B移动，以O为圆心，OB为半径的圆仍交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，AB=AC不变（如图②），那么DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）在（1）的条件下，若⊙O与AC相切于点F，交AB于点G（如图③）．已知⊙O的半径长为3，CE=1，求AF的长．

Answer

（1）连接OD，通过证明OD∥AC，利用平行的性质，得出OD⊥DE，即可判定DE与⊙O相切；
（2）连接OD，OF．设AF=x，利用方程的思想和勾股定理，解出x=4，即AF的长度为4．
【解析】
（1）DE与⊙O相切．理由如下：
连接OD．
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB．
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切．

（2）解法（1）：连接OD，OF．
∵DE，AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE．
又∵DE⊥AC，
∴四边形ODEF为矩形．
∴OD=EF．
设AF=x，则
AB=AC=x+3+1=x+4，AG=AB-BG=x+4-6=x-2．
∵AF与⊙O相切，
∴AF2=AG•AB．
即x2=（x-2）（x+4），
解得x=4．∴AF的长度为4．

解法（2）：连接OD，OF．
∵DE，AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE．
又∵DE⊥AC，所以四边形ODEF为矩形，
∴OD=EF．
设AF=x，则AB=AC=x+3+1=x+4，
AO=AB-OB=x+4-3=x+1，
∵OF⊥AC，∴AO2=OF2+AF2
即（x+1）2=9+x2，
解得x=4．
故AF的长度为4．