Question

（2006•襄阳）已知：AC是⊙O的直径，点A、B、C、O在⊙O₁上，OA=2．建立如图所示的直角坐标系．∠ACO=∠ACB=60度．
（1）求点B关于x轴对称的点D的坐标；
（2）求经过三点A、B、O的二次函数的解析式；
（3）该抛物线上是否存在点P，使四边形PABO为梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据圆的圆周角的性质可求得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得点B的坐标，再根据点B关于x轴的对称点的特点求得点D的坐标；
（2）可设得二次函数的一般式，将点A、O、B的坐标代入函数解析式，解方程组即可求得函数的解析式；
（3）∵△BOA是等边三角形，点D是点B关于x轴的对称点
∴OA、BD相互垂直平分∴四边形DABO是菱形
∴AD∥BO∴所求点P必在直线AD上
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠O），利用待定系数法求解即可．
【解析】
（1）如图：∵点A、B、C、D在⊙O上，且∠ACO=∠ACB=60°，
∴∠BOA=∠ABO=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∵OA=2，
过点B作BD⊥OA于点D，
∴OD=OA-1，BD=OB•sin60°=，
∴B（1，），
∴点B关于x轴对称的点D的坐标为（1，-）；

（2）设经过A（2，0）、B（1，）、O（0，0）的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
∴，
，
∴y=-+2；

（3）存在点P，使四边形PABO为梯形，
∵△BOA是等边三角形，
点D是点B关于x轴的对称点，
∴OA、BD相互垂直平分，
∴四边形DABO是菱形，
∴AD∥BO，
∴所求点P必在直线AD上，
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠O），
∴，
即，
∴y=，
联立，
解得，
当时，就是点A（2，0）；
当时，
即为所求点P（-1，-3），
过点P作PG⊥x轴于G，则|PG|=3，
∴PA=6而BO=2，
在四边形PABO中，BO∥AP且BO≠AP，
∴四边形PABO不是平行四边形，
∴OP与AB不平行，
∴四边形PABO为梯形，
同理，在抛物线上可求得另一点P（3，-3），也能使四边形PABO为梯形．
故存在点P（-1，-3），或P（3，-3），使四边形PABO为梯形．