Question

（2006•孝感）几何课本第三册复习题七中有这样一道几何题：以Rt△ABC的直角边AC为直径作圆，交斜边AB于点D，过点D作圆的切线．求证：这条切线平分另一条直角边BC．（不必证明）
现将上述习题改变成如下问题，请你解答：
如图，以Rt△ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，E为BC边的中点，连DE．
（1）判断DE是否为⊙O的切线，并证明你的结论．
（2）当AD：DB=9：16时，DE=8cm时，求⊙O的半径R．

Answer

（1）连接OE，OD，根据全等三角形的判定，易得△OEC≌Rt△ODC，进而可得∠ODC=∠OCE=90°，故DE是⊙O的切线．
（2）设AD=9x（x＞O），BD=16x，根据切割线定理可得关系式，代入数据可得关于x的方程，解可得答案．
【解析】
（1）DE是⊙O的切线，
证明：连接OE，OD；
∵在Rt△CDB，E为BC边的中点，
∴CE=DE．
∵OD=OC，OE是公共边，
∴△OEC≌Rt△ODC．
∴∠ODC=∠OCE=90°．
∴DE是⊙O的切线．

（2）设AD=9x（x＞0），BD=16x，
由切割线定理有BC2=BD•AB，
∴x=（负值舍去）．
∴AB=20，AC=12．
∴⊙O的半径R=6（cm）．