Question

（2006•宜昌）如图，⊙O的直径BC=4，过点C作⊙O的切线m，D是直线m上一点，且DC=2，A是线段BO上一动点，连接AD交⊙O于G，过点A作AD的垂线交直线m于点F，交⊙O于点H，连接GH交BC于E．
（1）当点A是BO的中点时，求AF的长；
（2）若∠AGH=∠AFD，求△AGH的面积．

Answer

（1）当点A是BO的中点时，根据△ACD∽△FCA，可将AF的长求出；
（2）当GH为⊙O的直径时，根据△AGH∽△AFD，可将△AFD的面积求出；当GH不是直径时，可知△AGH为等腰直角三角形，从而可将△AFD的面积求出．
【解析】
（1）∵BC=4，A是OB的中点
∴AC=3
又∵DC为⊙O的切线
∴∠ACD=∠ACF=90°
∵AD⊥AF
∴∠ADC、∠CAF都和∠DAC互余
∴∠ADC=∠CAF
∴△ACD∽△FCA
∴CD：AC=AC：FC
即2：3=3：FC
∴FC=
∴AF===；

（2）∵∠AGH=∠AFD，∠DAF=∠HAG，
∴△AGH∽△AFD，
∴∠AGH=∠F=∠CAG，∠AHG=∠D=∠CAF，
∴AE=GE=HE，
①如图1，如果GH是直径（即A与B重合，E与O重合），那么GH=4；
在直角△AFD中，FC=8，FD=10，
∵△AGH∽△AFD，
∴△AGH与△AFD相似比为GH：FD=4：10，
∴这两个相似三角形的面积比为16：100，
而△AFD的面积为20，
∴△AGH的面积=20×16÷100=3.2；
②如图2，如果GH不是直径，由GE=HE，
根据垂径定理的推论可得GH⊥BC，
∴AC垂直平分GH，
∴AG=AH，且GH∥FD，
而∠GAH=90°，则∠AGH=45°．
∴∠D=∠AGH=45°，
∴在直角三角形△ACD中，∠DAC=45°．
∴AC=CD=2
而OC=2，
∴A、O点重合，故AG=AH=2
∴△AGH的面积=2．