Question

（2006•长沙）如图1，已知直线y=-x与抛物线y=-x²+6交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

Answer

（1）联立两函数的解析式即可求出A、B点的坐标．
（2）可作AB的垂直平分线设其与x轴，y轴的交点分别为C、D，与AB的交点为M，可根据△BEO∽△OCM求出OC的长，同理可求出OD的长，即可得出C、D的坐标，用待定系数法即可求出AB垂直平分线的解析式．（另一种解法，可根据A、B的坐标得出AB中点的坐标，先求出直线AB的解析式，由于AB的垂直平分线与AB垂直，因此它的斜率与AB的斜率的乘积为-1，由此可得出所求直线的斜率，然后将中点坐标代入即可求出其解析式．）
（3）要使三角形ABP的面积最大，那么P到AB的距离就最大，因此P点必在与直线AB平行且与抛物线只有一个交点的一次函数上（设此直线与x轴，y轴的交点为G、H），据此可求出此直线的解析式和P点的坐标．然后可通过在三角形OHG中，根据面积的不同表示方法求出P点到AB的距离（即O到GH的距离），进而可求出三角形ABP的面积．
【解析】
（1）依题意得
解之得
∴A（6，-3），B（-4，2）

（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图1），
由（1）可知：OA=3，OB=2
∴AB=5
AB-OB=
过B作BE⊥x轴，E为垂足
由△BEO∽△OCM，得：，
∴
同理：OD=，
∴C（，0），D（0，-）
设CD的解析式为y=kx+b（k≠0）
∴
∴
∴AB的垂直平分线的解析式为：y=2x-．

（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线
y=-x+m上，并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图2）．
∴
∴x2-x+m-6=0
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴△=（-）2-4×（m-6）=0，
∴m=，
故x2-x+=0，即（x-1）2=0，
解得：x=1，
将x=1代入y=-+得：y=，
∴P（1，）
在直线GH：y=-x+中，
∴G（，0），H（0，）
∴GH=
设O到GH的距离为d，
∵GH•d=OG•OH
∵×d=××
∴d=，
又∵由AB∥GH
∴P到AB的距离等于O到GH的距离d．
∴S最大面积=AB•d=×5．