Question

（2006•郴州）如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（a＜b）．将纸片任意翻折（如图2），折痕为PQ．（P在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C′，PC′的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A′，且A′M所在直线与PM所在直线重合（如图3）折痕为MN．
（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明；
（2）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，MN间的距离有何变化？请说明理由；
（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC′QD，及四边形BPA′N的周长与a，b有何关系，为什么？

Answer

（1）猜想两直线平行，由矩形的对边平行，得到一组内错角相等，翻折前后对应角相等，那么可得到PQ与MN被MP所截得的内错角相等，得到平行．
（2）作出两直线间的距离．∵PM长相等，∠NPM是不变的，所以利用相应的三角函数可得到两直线间的距离不变．
（3）由特殊角得到所求四边形的形状，把与周长相关的边转移到同一线段求解．
【解析】
（1）PQ∥MN．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且M在AD直线上，则有AM∥BC．
∴∠AMP=∠MPC．
由翻折可得：∠MPQ=∠CPQ=∠MPC，
∠NMP=∠AMN=∠AMP，
∴∠MPQ=∠NMP，故PQ∥MN．

（2）两折痕PQ，MN间的距离不变．
过P作PH⊥MN，则PH=PM•sin∠PMH，
∵∠QPC的角度不变，
∴∠C'PC的角度也不变，则所有的PM都是平行的．
又∵AD∥BC，
∴所有的PM都是相等的．
又∵∠PMH=∠QPC，故PH的长不变．

（3）当∠QPC=45°时，
四边形PCQC'是正方形，
四边形C'QDM是矩形．
∵C'Q=CQ，C'Q+QD=a，
∴矩形C'QDM的周长为2a．
同理可得矩形BPA'N的周长为2a，∴两个四边形的周长都为2a，与b无关．