Question

（2007•大连）已知抛物线y=ax²+bx+c经过P（，3），E（，0）及原点O（0，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC（如图）．是否存在点Q，使得△OPC与△PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连接OQ，矩形OABC内的四个三角形△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之间存在怎样的关系，为什么？

Answer

（1）将已知的三点坐标代入抛物线解析式中进行求解即可．
（2）可根据抛物线的解析式设出Q点的坐标，要使△OPC与△PQB相似，可分两种情况：
①△OCP∽△PBQ，此时∠COP=∠BPQ，，用Q点的坐标表示出BP、BQ的长，根据线段的比例关系式即可求出Q点的坐标．
②△OCP∽△QPB，此时∠CPO=∠BPQ，，方法同①
（3）根据（2）得出的Q点的坐标进行判断即可，注意运用正方形的性质和一些特殊角．
【解析】
（1）由已知可得：
解之得，a=-，b=，c=0．
因而得，抛物线的解析式为：y=-x2+x．

（2）存在．
设Q点的坐标为（m，n），则，
要使△OCP∽△PBQ，
则有，即，
解之得，m1=2，m2=．
当m1=2时，n=2，
所以得Q（2，2）
要使△OCP∽△QPB，则有，即
解之得，m1=3，m2=，
当m=时，即为P点，
当m1=3时，n=-3，
所以得Q（3，-3）．
故存在两个Q点使得△OCP与△PBQ相似．Q点的坐标为（2，2），（3，-3）．

（3）在Rt△OCP中，
因为tan∠COP=．
所以∠COP=30度．
当Q点的坐标为（2，2）时，∠BPQ=∠COP=30度．
所以∠OPQ=∠OCP=∠B=∠QAO=90度．
因此，△OPC，△PQB，△OPQ，△OAQ都是直角三角形．
又在Rt△OAQ中，
因为tan∠QOA=．
所以∠QOA=30度．
即有∠POQ=∠QOA=∠QPB=∠COP=30度．
所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA，
又因为QP⊥OP，QA⊥OA，∠POQ=∠AOQ=30°，
所以△OQA≌△OQP．