Question

（2006•邵阳）如图，已知抛物线y=x²+1，直线y=kx+b经过点B（0，2）
（1）求b的值；
（2）将直线y=kx+b绕着点B旋转到与x轴平行的位置时（如图1），直线与抛物线y=x²+1相交，其中一个交点为P，求出P的坐标；
（3）将直线y=kx+b继续绕着点B旋转，与抛物线相交，其中一个交点为P'（如图②），过点P'作x轴的垂线P'M，点M为垂足．是否存在这样的点P'，使△P'BM为等边三角形？若存在，请求出点P'的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将B点的坐标代入直线的解析式中即可得出b的值．
（2）直线绕B旋转到与x轴平行的位置，此时直线的解析式为y=2，然后联立抛物线的解析式即可求出交点P的坐标．
（3）如果△P′BM是等边三角形，那么∠BP′M=60°，不难得出BP′的长正好等于P′，B两点纵坐标差的绝对值的2倍．据此可求出P′的纵坐标，进而可根据抛物线的解析式求出P′的坐标．
【解析】
（1）∵直线y=kx+b过点B（0，2），
∴b=2．

（2）y=kx+b绕点B旋转到与x轴平行，即y=2，
∴P（2，2）或P（-2，2），
依题意有：x2+1=2，
x=±2，
∴P（2，2）或P（-2，2）．

（3）假设存在点P'（x，y），使△P'BM为等边三角形，
如图，则∠BP'M=60°
P'M=yP'B=2（P'M-2）=2（y-2）
且P'M=P'B
即y=2（y-2）
y=4
又点P′在抛物线y=x2+1上
∴x2+1=4
x=±2
∴当直线y=kx+b绕点B旋转时与抛物线y=x2+1相交，存在一个交点P′（2，4）或P′（-2，4）
使△P'BM为等边三角形．