Question

（2006•永州）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=3，CD=7，点P是BC边上的一动点（不与点B重合），过点D作DE⊥AP，垂足为E．
（1）求AB的长；
（2）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）延长DE交AB于点F，连接PF，当△ADE为等腰直角三角形时，求sin∠FPA的值．

Answer

（1）过D作DG⊥BC，垂足为G，已知CD=7及∠C=45°，根据三角函数可求得AB的长．
（2）已知∠B=∠AED=90°，AD∥BC，得到∠DAE=∠APB，根据有两组角相等的两个三角形相似得到△ABP∽△DEA，从而得到对应边成比例即，从而可得到自变量x的取值范围．
（3）根据题意可得到AE=DE=EF，从而可求得AP、PE，根据勾股定理求得PF的长，此时再求sin∠FPA的值就不难了．
【解析】
（1）过D作DG⊥BC，垂足为G．（1分）
AB=DG=CDsinC=7×．（3分）

（2）∵∠B=∠AED=90°，AD∥BC
∴∠DAE=∠APB
∴△ABP∽△DEA（4分）
∴，，．（5分）
取值范围是．（6分）

（3）由题意知：AE=DE=EF=ADsin45°=3=3．（7分）
∴AP==7，PE=7-3=4．（8分）
PF=，（9分）
∴sin∠FPA=．（10分）