Question

（2006•永州）如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H．问：
（1）∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？
（2）图中有哪几组相等的线段？
（3）当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？

Answer

（1）根据角平分线与垂线的性质证明角相等；
（2）发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；
（3）根据其中一个是直角三角形得到AC必须是直径．再根据另一对角对应相等，结合利用平角发现必须都是60°才可．
【解析】
（1）答：相等．理由如下：
∵CD为∠ACF的角平分线（已知），
∴∠DCP=∠DCH，DP⊥AC，DH⊥BF．
∴∠DPC=∠DHC=90°．
∴∠PDC=∠HDC．

（2）PC=HC，DP=DH，AP=BH，AD=BD．

（3）∠ABC=90°且∠ACB=60°时，△CPD∽△CBA．
∵∠CPD=90°，
∴∠ABC=90°．
∵CD为∠ACF的角平分线，∠PCD=∠DCF=∠ACB，
∴∠ACB=60°．
∴∠ABC=90°且∠ACB=60°时，△CPD∽△CBA．