Question

（2006•吉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E坐标为（4，0），顶点G坐标为（0，2）．将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．
（1）判断△OGA和△OMN是否相似，并说明理由；
（2）求过点A的反比例函数解析式；
（3）设（2）中的反比例函数图象交EF于点B，求直线AB的解析式；
（4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG的对称中心，并说明理由．

Answer

（1）由已知，得∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON，易得△OGA∽△OMN．
（2）根据（1）的结论，可得AG的值，即A的坐标，设反比例函数y=，把A（1，2）代入，得k=2，即y=．
（3）易得B的坐标，设y=mx+n，把A（1，2），B（4，）代入可得方程组，解可得mn的值，代入可得直线AB的解析式；
（4）设矩形OEFG的对称中心为Q，易得点Q坐标为（2，1），将其代入解析式，即可判断出答案．
【解析】
（1）△OGA∽△OMN．（1分）
由已知，得∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON，
∴△OGA∽△OMN．（2分）

（2）由（1）得．
∴，AG=1，
∴A（1，2）．（3分）
设反比例函数y=，把A（1，2）代入，得k=2，即y=．（4分）

（3）∵点B的横坐标为4，把x=4代入y=中得，y=，即B（4，）．（5分）
设y=mx+n，把A（1，2），B（4，）代入，得解得
∴y=-x+．（8分）

（4）设矩形OEFG的对称中心为Q，则点Q坐标为（2，1）．
把x=2代入y=，得y=1．
∴反比例函数的图象经过矩形OEFG的对称中心．（10分）