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(2006•连云港)如图,已知抛物线y=px2-1与两坐标轴分别交于点A、B、C...

(2006•连云港)如图,已知抛物线y=px2-1与两坐标轴分别交于点A、B、C,点D坐标为(0,-2),△ABD为直角三角形,l为过点D且平行于x轴的一条直线.
(1)求p的值;
(2)若Q为抛物线上一动点,试判断以Q为圆心,QO为半径的圆与直线l的位置关系,并说明理由;
(3)是否存在过点D的直线,使该直线被抛物线所截得的线段是点D到直线与抛物线两交点间得两条线段的比例中项?如果存在,请求出直线解析式;如果不存在,请说明理由.

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(1)根据△ABD为等腰直角三角形,点D坐标为(O,-2),可求点B的坐标为(2,O).将点B的坐标(2,0)代入抛物线解析式,得p=. (2)设点Q的坐标为(a,b),则有a2=4b+4.过Q作QG⊥l,垂足为G,交x轴于H.DQ=b+2.又点Q到直线l的距离QG=b+2.QG=DQ.⊙Q与直线l相切. (3)先假设存在这样的直线,该直线被抛物线所截得的线段是点D到直线与抛物线两交点间的两条线段的比例中项.设直线解析式为:y=kx-2,与抛物线两交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2)(x1<x2).分别过M,N作MM’⊥l,NN’⊥l,垂足为M',N',因为MM'∥NN',可知MN2=DM.DN,即(x2+x1)2-5x1x2=0.根据交点的意义可得x1,x2是方程x2-4kx+4=O的两个根, 由根与系数的关系,得16k2-20=o,解得k=±,当k=±时,有△>0,所以,满足条件的解析式为y=-2和y=--2. 【解析】 (1)由题意知,△ABD为等腰直角三角形, 又∵点D坐标为(O,-2) ∴OD=2, ∴OA=OB=OD=2. ∴点B的坐标为(2,O).(2分) 将点B的坐标(2,0)代入抛物线解析式, 得p=.(3分) (2)以Q为圆心,QO为半径的圆与直线l相切.(4分) 设点Q的坐标为(a,b),则有a2=4b+4. 过Q作QG⊥l,垂足为G,交x轴于H(如图1). ∴DQ=b+2. 又∵点Q到直线l的距离OQ=b+2=QG. ∴QG=DQ. 故⊙Q与直线l相切. (3)假设存在这样的直线,该直线被抛物线所截得的线段是点D到直线与抛物线两交点间的两条线段的比例中项. 设直线解析式为)y=kx-2,与抛物线两交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2)(x1<x2). 解法一分别过M,N作MM’⊥l,NN’⊥l,垂足为M',N'(如图2) ∴MM'∥NN', ∴ ∵MN2=DM.DN, ∴(x2+x1)2-5x1x2=0,(9分) ∵点M在直线y=kx-2上, ∴y1=kx1-2, ∵点M又在抛物线y=x2-1上, ∴y1=x12-1 ∴kx1-2=x12-1, 即x12-4kx1+4=0, 同理,有x22-4kx2+4=0 ∴x1,x2是方程x2-4kx+4=O的两个根, 由根与系数的关系,得16k2-20=o, 解得k=± 当k=±时,有△>0, 所以,满足条件的解析式为y=-2和y=--2.
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考点分析:
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(3)请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形,同时满足下列条件:①折成的组合矩形为正方形;②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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