Question

（2012•庆阳）已知：如图，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；
（3）若GE•GB=4-2，求正方形ABCD的面积．

Answer

（1）根据全等三角形的判定方法寻找条件．
（2）因为O是BD的中点，结合已知条件，知道证明G是DF中点即可．
（3）要求正方形的面积，求出边长的平方即可，为此要找到一个关于边长的方程，因为已知中有直角，根据勾股定理，结合已知条件，列出方程，求出答案．
（1）证明：在△BCE与△DCF中，
∵，
∴△BCE≌△DCF．

（2）【解析】
OG=BF．
理由如下：∵△BCE≌△DCF，
∴∠CEB=∠F，
∵∠CEB=∠DEG，
∴∠F=∠DEG，
∵∠F+∠GDE=90°，
∴∠DEG+∠GDE=90°，
∴BG⊥DF，
∴∠BGD=∠BGF，
又∵BG=BG，∠DBG=∠FBG，
∴△BGD≌△BGF，
∴DG=GF，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴DO=OB，
∴OG是△DBF的中位线，
∴OG=BF．

（3）【解析】
设BC=x，则DC=x，BD=，
由（2）知，△BGF≌△BGD，
∴BF=BD，
∴CF=（-1）x，
∵∠DGB=∠EGD，∠DBG=∠EDG，
∴△GDB∽△GED，
∴=，
∴GD2=GE•GB=4-2，
∵DC2+CF2=（2GD）2，
∴x2+（-1）2x2=4（4-2），
（4-2）x2=4（4-2），
x2=4，
正方形ABCD的面积是4个平方单位．