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(2006•宿迁)如图,在▱ABCD中,AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC,交CD于点E、F,AE、BF相交于点M.
(1)试说明:AE⊥BF;
(2)判断线段DF与CE的大小关系,并予以说明.

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(1)因为AE,BF分别是∠DAB,∠ABC的角平分线,那么就有∠MAB=∠DAB,∠MBA=∠ABC,而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补,所以,能得到∠MAB+∠MBA=90°,即得证. (2)两条线段相等.利用平行四边形的对边平行,以及角平分线的性质,可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形,那么就有CF=BC=AD=DE,再利用等量减等量差相等,可证. 【解析】 (1)方法一:如图①, ∵在▱ABCD中,AD∥BC, ∴∠DAB+∠ABC=180°.(1分) ∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC, ∴∠DAB=2∠BAE,∠ABC=2∠ABF.(2分) ∴2∠BAE+2∠ABF=180°. 即∠BAE+∠ABF=90°.(3分) ∴∠AMB=90°. ∴AE⊥BF.(4分) 方法二:如图②,延长BC、AE相交于点P, ∵在▱ABCD中,AD∥BC, ∴∠DAP=∠APB.(1分) ∵AE平分∠DAB, ∴∠DAP=∠PAB.(2分) ∴∠APB=∠PAB. ∴AB=BP.(3分) ∵BF平分∠ABP, ∴AP⊥BF, 即AE⊥BF.(4分) (2)方法一:线段DF与CE是相等关系,即DF=CE,(5分) ∵在▱ABCD中,CD∥AB, ∴∠DEA=∠EAB. 又∵AE平分∠DAB, ∴∠DAE=∠EAB. ∴∠DEA=∠DAE. ∴DE=AD.(6分) 同理可得,CF=BC.(7分) 又∵在▱ABCD中,AD=BC, ∴DE=CF. ∴DE-EF=CF-EF. 即DF=CE.(8分) 方法二:如图,延长BC、AE设交于点P,延长AD、BF相交于点O, ∵在▱ABCD中,AD∥BC, ∴∠DAP=∠APB. ∵AE平分∠DAB, ∴∠DAP=∠PAB. ∴∠APB=∠PAB. ∴BP=AB. 同理可得,AO=AB. ∴AO=BP.(6分) ∵在▱ABCD中,AD=BC, ∴OD=PC. 又∵在▱ABCD中,DC∥AB, ∴△ODF∽△OAB,△PCE∽△PBA.(7分) ∴=,=. ∴DF=CE.(8分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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