Question

（2006•宿迁）设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d．
（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：

d、a、r之间关系	公共点的个数
d＞a+r
d=a+r
a≤d＜a+r
d=a-r
d＜a-r

所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有______个；
（2）如图②，当r=a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：

d、a、r之间关系	公共点的个数
d＞a+r
d=a+r
a≤d＜a+r
d＜a

所以，当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有______个；
（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r=a；
（4）就r＞a的情形，请你仿照“当…时，⊙O与正方形的公共点个数可能有______个”的形式，至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论．
（注：第（4）小题若多给出一个正确结论，则可多得2分，但本大题得分总和不得超过12分）．

Answer

（1）、（2）可根据圆心和正方形的中心之间的距离，和正方形的边长与圆的半径的比较得出两个图形的位置关系；
（3）连接圆心与圆上的正方形的顶点，在所构成的直角三角形中，用r表示出圆心到弦的距离，然后根据勾股定理求出r的值；
（4）可先判断正方形与圆的位置关系，然后再判断公共点的个数．
【解析】
（1）

 d、a、r之间关系  公共点的个数
 d＞a+r  0

 d=a+r  1
 a≤d＜a+r  2
 d=a-r  1
 d＜a-r  0

所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0，1，2个；

（2）
 d、a、r之间关系  公共点的个数
 d＞a+r  0
 d=a+r  1
 a≤d＜a+r  2
 d＜a  4

r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0，1，2，4个；

（3）连接OC．
则OE=OC=r，OF=EF-OE=2a-r．
在Rt△OCF中，由勾股定理，得
OF2+FC2=OC2，
即（2a-r）2+a2=r2，
4a2-4ar+r2+a2=r2，
5a2=4ar，
5a=4r，
∴r=a．

（4）当a＜r＜时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；
②当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；
③当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；
④当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；
⑤当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个．